Buenas tardes bachilleres, a continuación se especifican los puntos a investigar para constituir lo que será el tercer trabajo del curso de matemática. El mismo debera contener como primera parte la IDENTIFICACIÓN COMPLETA DE PRESENTACIÓN FORMAL DE UN TRABAJO ( PORTADA). Este trabajo deberá ser entregado a mas tardar el día DOMINGO 07 DE DICIEMBRE DE 2008 SIN PRÓRROGA.
RADICACIÓN:
1.- Término radical, Indice de un radical, parte sub radical.
2.- Propiedades de los radicales.
3.- Operaciones con radicales: Suma y Multiplicación y de un ejemplo de cada una.
4.- Racionalización Binómica y de un ejemplo.
ECUACIONES:
5.- Definición de ecuación, definición de igualdad y de grado de una ecuación.
6.- Que es una ecuación lineal, una cuadrática, una radical y una de valor absoluto.
BUENA SUERTE A TODOS.
LIC. LUIS MARCANO.
Republica Bolivariana de Venezuela
ministerio del Poder Popular Para la Defenza
UNEFA
C.I.U/Ingenieria Petroquimica
Materia: Matematica
Aula: 07
Seccion: I-006-D
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales:
y
es una expresión algebraica con radical.
El grado de un radical es el índice de la raíz.
Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Defenza
UNEFA
C.I.U/Ingenieria Petroquimica
Materia: Matematica
Nombre: Stalin Reyes
Seccion: I-007-D
Aula: 07
"Los Radicales y Sus Propiedades"
Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.
Núcleo valencia edo Carabobo.
Isabelica.
Profesor:
Luis marcano
Bachiller:
Mileyda Rodríguez
CI:20.586.497
Sección I007
Radicación:
1.-Término de un radical:
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Índice de un radical:
Relativo a la raíz. Signo de la operación de la extracción de raíces (). Expresión que contiene un radical. Índice de un radical, cifra que se sitúa entre las ramas de un radical para indicar el grado de la raíz.
Parte sub radical:
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
2.-Propiedades de los radicales:
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
3.-Operaciones con radicales: suma y multiplicación de un ejemplo de c/u:
1. Sumas y restas:
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
Se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones:
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
Ahora si se pueden multiplicar
g)
4.-Racionalizacion binomicas y de un ejemplo:
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Ecuaciones:
5.-Definición de ecuación:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
*Definición de igualdad:
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
*Definición de grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
6.-Que es una ecuación lineal:
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
*Que es una ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Como hallar las soluciones
*Que es un radical:
Un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
Un radical halógeno, es por lo tanto, un elemento de la columna de los halógenos que es propenso a reaccionar con otras moléculas.
*Que es valor absoluto:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.
Núcleo valencia edo Carabobo.
Isabelica.
Profesor:
Luis marcano
Bachiller:
edicson suarez
CI:20.665.022
Sección I007
Radicación:
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
1.-Término de un radical:
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Índice de un radical:
Relativo a la raíz. Signo de la operación de la extracción de raíces (). Expresión que contiene un radical. Índice de un radical, cifra que se sitúa entre las ramas de un radical para indicar el grado de la raíz.
Parte sub radical:
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
2.-Propiedades de los radicales:
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
3.-Operaciones con radicales: suma y multiplicación de un ejemplo de c/u:
1. Sumas y restas:
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
Se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones:
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
Ahora si se pueden multiplicar
g)
4.-Racionalizacion binomicas y de un ejemplo:
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Ecuaciones:
5.-Definición de ecuación:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
*Definición de igualdad:
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
*Definición de grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
6.-Que es una ecuación lineal:
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
*Que es una ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Como hallar las soluciones
*Que es un radical:
Un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
Un radical halógeno, es por lo tanto, un elemento de la columna de los halógenos que es propenso a reaccionar con otras moléculas.
*Que es valor absoluto:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Defenza
UNEFA
C.I.U/Ingenieria Petroquimica
Nombre: wilmer flores
Seccion: I007
Aula: 07
"Los Radicales y Sus Propiedades"
Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo _Valencia
Extensión_Isabelica.
Radicación y Ecuaciones
Profesor:
Luis Marcano
Bachiller: Carrasquel Pamela
C.I. 20.233.872 Ingeniería Petroquímica Sección I_006
Aula Nº07
Valencia, diciembre del 2.008
• Radicación: La radicación es la operación inversa de la potenciación. Nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a. El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
• Índice de un radical: es el exponente de la potencia.
• Parte sub_radical: este también conocido como la base, es el número que está contenido dentro de la raíz.
1. Propiedades de los radicales:
• Potencia de una raíz:
• =
El denominador en un exponente racional es la raíz y el numerador es el exponente de la base. Da lo mismo hallar la potencia y luego la raíz que hallar la raíz y luego la potencia.
• Raíz de un producto:
=
La raíz de un producto es el producto de las raíces.
• Raíz de un cociente:
La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.
• Raíz de una raíz:
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
2. Operaciones con radicales:
• Suma: Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplo:
*
-
• = = =
•
•
• =
Se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
• Multiplicación:
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
• 7 por
7
=
•
4. Racionalización binómica:
Para racionalizar un binomio de índice 2, se multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma. Este resultado va quedar de la forma de producto notable de los binomios. Luego se despejan las raíces del denominador.
5. Ecuaciones: Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s).
• El grado: El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio.
• Igualdad: Es aquella expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor. La condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad.
6. ¿Qué es una ecuación lineal?
Una ecuación lineal es una ecuación donde solamente se realizan operaciones de sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Es de la forma ax + b = 0.
• ¿Qué es una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica:
• ¿Qué es una ecuación radical?
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz
• ¿Qué es una ecuación de valor absoluto?
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las
Fuerzas Armadas
Núcleo: Isabelica
Radicación
Alumna:
Alvarado Josneydis
C.I 20513330
Ing. Petroquímica
La radicación
Es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Termino radical
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Índice de un radical:
Relativo a la raíz. Signo de la operación de la extracción de raíces (). Expresión que contiene un radical. Índice de un radical, cifra que se sitúa entre las ramas de un radical para indicar el grado de la raíz.
Parte subradical:
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Suma de radicales:
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados. Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Reducción De Radicales A Índice Común
Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.
Multiplicación de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
División de radicales
Radicales del mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Racionalización
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
Ecuación
Igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.
Igualdad
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
Grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
Ecuación lineal
Ecuación polinómicas de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz +…= k, en donde a, b, c,…, k son números reales y x, y, z,… son las incógnitas.
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma
ax + by = c
Con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma
ax + by + cz = d
Con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.
Ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ecuación radical
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz
ecuación de valor absoluto
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue el signo. Se indica poniendo en número entero entre barras como por ejemplo: |+3 |= |-3 | = 3
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo _Valencia
Extensión_Isabelica.
Radicación y Ecuaciones
Profesor:
Luis Marcano
Bachiller: Arianny Valdespino
C.I. 20.270.928 Ingeniería Petroquímica Sección I_006
Aula Nº07
Valencia, diciembre del 2008
RADICACIÒN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número (b) de veces nos da el numero (a).
TERMINO RADICAL
En matemática, el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , , que es el número cuya n-ésima potencia es a.
INDICE RADICAL
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
• =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
RÁIZ DE UN PRODUCTO
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
RÁIZ DE UN COCIENTE
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
POTENCIA DE UNA RÀIZ
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
RÁIZ DE UNA RÁIZ
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
OPERACIONES CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
RACIONALIZACION BINOMICA
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
IGUALDADES DE UNA ECUACION
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.
GRADO DE UNA ECUACION
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Ejemplo
QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ECUACIONES CON RADICALES
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Véase el ejemplo: sqrt(3 * x + 1) + 1 = x
QUE ES UNA ECUACION DE VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
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Radicación y Ecuaciones
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RADICACIÒN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número (b) de veces nos da el numero (a).
TERMINO RADICAL
En matemática, el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , , que es el número cuya n-ésima potencia es a.
INDICE RADICAL
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
• =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
RÁIZ DE UN PRODUCTO
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
RÁIZ DE UN COCIENTE
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
POTENCIA DE UNA RÀIZ
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
RÁIZ DE UNA RÁIZ
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
OPERACIONES CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
RACIONALIZACION BINOMICA
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
IGUALDADES DE UNA ECUACION
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.
GRADO DE UNA ECUACION
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Ejemplo
QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ECUACIONES CON RADICALES
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Véase el ejemplo: sqrt(3 * x + 1) + 1 = x
QUE ES UNA ECUACION DE VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaS
Extensión_Isabelica.
Radicación y Ecuaciones
Profesor:
Luis Marcano
Bachiller: Francys Arvelo
C.I. 20362010 Ingeniería Petroquímica Sección I_006
Aula Nº07
Valencia, diciembre del 2008
RADICACIÒN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número (b) de veces nos da el numero (a).
TERMINO RADICAL
En matemática, el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , , que es el número cuya n-ésima potencia es a.
INDICE RADICAL
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
• =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
RÁIZ DE UN PRODUCTO
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
RÁIZ DE UN COCIENTE
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
POTENCIA DE UNA RÀIZ
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
RÁIZ DE UNA RÁIZ
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
OPERACIONES CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
RACIONALIZACION BINOMICA
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
IGUALDADES DE UNA ECUACION
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.
GRADO DE UNA ECUACION
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Ejemplo
QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ECUACIONES CON RADICALES
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Véase el ejemplo: sqrt(3 * x + 1) + 1 = x
QUE ES UNA ECUACION DE VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaS
Extensión_Isabelica.
Radicación y Ecuaciones
Profesor:
Luis Marcano
Bachiller: sindi piñeiro
Ingeniería Petroquímica Sección I_006
Aula Nº07
Valencia, diciembre del 2008
RADICACIÒN
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número (b) de veces nos da el numero (a).
TERMINO RADICAL
En matemática, el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , , que es el número cuya n-ésima potencia es a.
INDICE RADICAL
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
• =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
RÁIZ DE UN PRODUCTO
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
RÁIZ DE UN COCIENTE
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
POTENCIA DE UNA RÀIZ
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
RÁIZ DE UNA RÁIZ
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
OPERACIONES CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
RACIONALIZACION BINOMICA
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
IGUALDADES DE UNA ECUACION
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.
GRADO DE UNA ECUACION
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Ejemplo
QUE ES UNA ECUACION CUADRATICA
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ECUACIONES CON RADICALES
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Véase el ejemplo: sqrt(3 * x + 1) + 1 = x
QUE ES UNA ECUACION DE VALOR ABSOLUTO
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LAS FUERZAS ARMADAS
SECCION I 006
CARRERA PETROQUIMICA
AULA 07
La radicación
Es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Termino radical
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Índice de un radical:
Relativo a la raíz. Signo de la operación de la extracción de raíces (). Expresión que contiene un radical. Índice de un radical, cifra que se sitúa entre las ramas de un radical para indicar el grado de la raíz.
Parte subradical:
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Suma de radicales:
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados. Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Reducción De Radicales A Índice Común
Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.
Multiplicación de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
División de radicales
Radicales del mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Racionalización
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:
También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".
Ecuación
Igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.
Igualdad
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
Grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
Ecuación lineal
Ecuación polinómicas de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz +…= k, en donde a, b, c,…, k son números reales y x, y, z,… son las incógnitas.
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma
ax + by = c
Con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma
ax + by + cz = d
Con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.
Ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
ecuación radical
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz
ecuación de valor absoluto
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue el signo. Se indica poniendo en número entero entre barras como por ejemplo: |+3 |= |-3 |
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA
NÚCLEO LA ISABELICA
RADIACION
Bachiller:
Denny José Alvarado Cazu
Sección: I-006
Aula: 07 – Ingeniería Petroquímica
INTRODUCCIÓN
La siguiente investigación tiene como finalidad dar a conocer mediante el presente trabajo los radicales, las propiedades, entre ellas: raíz de una raíz, raíz de una potencia, simplificación, suma y multiplicación de radicales con ejemplos, racionalización, asi como también ecuaciones, definiciones de igualdad y grado de una ecuación, ecuación lineal, cuadrática ,radical y de valor absoluto. Así mismo alcanzar las expectativas esperadas en la materia, de igual manera aumentar conocimientos en el área de matemática.
RADIACIÓN:
Es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).
Así mismo la multiplicación 2 x 2 x 2 donde el resultado es 8, se puede decir también que 2 es la raíz de 8, con la diferencia que en esta ocación el número 2 se ha elevado al cubo (³) y por lo tanto se puede deducir que las radicación y la potenciación estan muy relacionadas.
El principio en que se basa la extracción de la raíz cuadrada de cantidades de varias cifras, consiste en descomponer el número dado en grupos de 2 cifras, comenzando por la derecha.
EL TÉRMINO RADICAL
Viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
ÍNDICE DE UN RADICAL:
Relativo a la raíz. Signo de la operación de la extracción de raíces (). Expresión que contiene un radical. Índice de un radical, cifra que se sitúa entre las ramas de un radical para indicar el grado de la raíz.
PARTE SUBRADICAL:
El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
SUMA DE RADICALES:
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Ejemplo: 2V2 – 4V2 + V2= (2 - 4 + 1)V2= V2
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES:
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: V2 x V3= V6
PROPIEDADES DE LOS RADICALES:
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
-Radicales del mismo índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
-Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
-Cociente de radicales: Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
-Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
-Potencia de radicales: Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
-Raiz de un radical: La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
-Simplificar un radical: Es obtener otro equivalente de índice menor. Si los exponentes de la cantidad subradical y el índice del radical son divisibles entre un mismo número, calculamos el m.c.d. del índice y de los exponentes y dividimos cada uno entre el m.c.d.
RACIONALIZACION:
Es una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador.
ECUACIÓN:
Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
ECUACIÓN FUNCIONAL:
Es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
ECUACIÓN POLINÓMICA:
Es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero.
IGUALDAD:
En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.
Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y. x = y si y sólo si x es igual a y.
GRADO DE UNA ECUACIÓN:
Es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita.
ECUACIÓN LINEAL:
Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
ECUACIÓN CUADRÁTICA: Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica.
ECUACIÓN RADICAL: Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
ECUACIÓN DE VALOS ABSOLUTO: para cada numero real se defina su valor absoluto y se denota.
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
3x+2=5
3x=3
X=1
3x+2=-5
3x=-7
X=-7/3
CONCLUSIÓN
Puedo concluir que los radicales es un signo que indica la operación de extraer raíces. Sus propiedades son importantes ya que dependemos de cada propiedad para resolver un problema entre ellos. Asi mismo obteniendo conocimientos sobre los diferentes tipos de ecuaciones como lineales, cuadráticas de radicales y valor absoluto Finalmente puedo decir que aprendí mucho en esta investigación por lo que considero que es muy importante para la cultura del estudiante
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO
DEL PODER POPULAR PARA LE DEFENZA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LAS FUERZAS ARMADAS
ALAMO LUIS N.01
C.I.20.694.237
CARRERA-ING-PETROQUIMACA
AULA-I007
INTRODUCCIÓN
ES DE VITAL IMPORTANCIA CONOCER LOS RADICALES YA QUE ES UNA RAIZ INDICADA O UNA CANTIDAD IRRACIONAL A ESTO SE LE CONOCE MUCHAS PROPIEDADES LOS CUALES SON.RAIZ DE UNA RAIZ-RAIZ DE UNA POTENCAI-SIMPLIFICACION-ENTRE OTRAS.
POR OTRA PARTE PODEMOS DECIR QUE UNA ECUACION ES UNA IGUALDAD ENTRE DOS EXPRECIONES, TAMBIEN asi como también ecuaciones, definiciones de igualdad y grado de una ecuación, ecuación lineal, cuadrática ,radical y de valor absoluto. Así mismo alcanzar las expectativas esperadas en la materia, de igual manera aumentar conocimientos en el área de matemática..
"Los Radicales y Sus Propiedades"
Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuaciones:
5.-Definición de ecuación:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
*Definición de igualdad:
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
*Definición de grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
6.-QUE ES UNA ECUACION LINEAL:
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
*QUE US UNA ECUACION CUADRATICA:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica.
Como hallar las soluciones
*QUE ES UN RADICAL:
Un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
Un radical halógeno, es por lo tanto, un elemento de la columna de los halógenos que es propenso a reaccionar con otras moléculas.
*QUE ES UN VALOR ABSOLUTO:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
ECUACIÓN RADICAL: Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
ECUACIÓN DE VALOS ABSOLUTO: para cada numero real se defina su valor absoluto y se denota.
A continuación se aplicarán las propiedades de la función valor absoluto para resolver ecuaciones de la forma: |ax+b|=c
Por ejemplo: observa como se resuelve la siguiente ecuación: |3x+2|=5.
De acuerdo con las propiedades de la función valor absoluto, de la ecuación |3x+2|=5 se originan dos ecuaciones:
3x+2=5
3x=3
X=1
3x+2=-5
3x=-7
X=-7/3
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LE DEFENZA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LAS FUERZAS ARMADAS
CARRERA-ING-PETROQUIMICA
AULA 07
SECCION I006
"RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuaciones:
5.-Definición de ecuación:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
*Definición de igualdad:
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
*Definición de grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
ECUACION LINEAL:
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
ECUACION CUADRATICA:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica.
Como hallar las soluciones
*QUE ES UN RADICAL:
Un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
Un radical halógeno, es por lo tanto, un elemento de la columna de los halógenos que es propenso a reaccionar con otras moléculas.
*QUE ES UN VALOR ABSOLUTO:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la defensa
Universidad nacional experimental politécnica
De las fuerzas armadas
Bachiller:
Alexis Alfonzo
C.I: 2036435
Sección: I006
Petroquímica
Radicales
Termino de radical: La palabra "radical" deriva del vocablo latino "radix", que significa "raíz". La voz "raíz" se usa con mucha frecuencia en matemáticas modernas para referirse a la base de un sistema numérico, tal como la base 2 en el sistema binario. Sin embargo, la palabra "radical” conserva su significado original de "raíz".
El símbolo radical parecería ser una distorsión de la letra inicial "r" de la palabra "radix". Con el prolongado uso la r perdió gradualmente su significado como letra y se transformó en el símbolo que usamos. El vínculo ayuda a especificar con exactitud cuáles de las letras y números que siguen al símbolo radical pertenecen en realidad a la expresión radical.
Índice de un radical: El índice de la raíz o radical (excepto en el caso de una raíz cuadrada) se coloca en la abertura del símbolo radical. El índice nos dice qué raíz se pretende extraer del radicando. Por ejemplo el índice de la raíz es 5. La quinta raíz de 32 es lo que se busca.
Parte sub radical: Son la cantidad de dígitos o variables elevados a cualquier grado que están englobados dentro del radical.
Ejemplo: Las cantidades subradicales serían x2, y, z5.
Propiedades de los radicales: Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Estas propiedades son de gran importancia ya que gracias a ella podemos realizar todos lo ejercicios con radicación.
Entres las propiedades tenemos: raíz de una raíz, raíz de un apotencia, simplificación de raíz, raíz de un producto, raíz de un cociente, factor fuera de la raíz, raíz semejantes, entre otros.
Operaciones de radicales: adición y sustracción, multiplicación y división.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Si está indicada la adición o sustracción de radicales semejantes los radicales se combinan sumando y restando sus coeficientes y colocando su resultado al frente del radical. Sumar 3 y 5 es similar a sumar 3 tuercas y 5 tuercas. La suma de los coeficientes -5, -2 y 7 es cero. Por tanto, el coeficiente de la respuesta debería ser cero, Entonces, la respuesta final es cero, puesto que cero multiplicado por cualquier cantidad es cero.
MULTIPLICACION Y DIVISIÓN: Si un radical se escribe inmediatamente después de otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, ó significan multiplicación. Cuando se indica la multiplicación o división de radicales varios radicales que tengan el mismo índice pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los que poseen el mismo índice se dice que son radicales del mismo orden. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es un radical de segundo orden. Los radicales dos y cinco son del mismo orden.
Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo radical. Por ejemplo, multiplicada por es lo mismo que ; además, es lo mismo que . Si aparecen coeficientes en los radicales éstos también deben unirse en la multiplicación o división.
Racionalizacion binomica: es cuando hablamos de las expresiones que Tienen el denominador irracional. Esto Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias. Entonces cuando el Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad. Como por ejemplo: (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador.
Ecuaciones.
Ecuación: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Igualdad: En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación. Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y: x = y si y sólo si x es igual a y.
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación se determina en función del valor mayor del exponente en una ecuación, una ecuación algebraica esta constituida por términos algebraicos, cada término esta separado por signos de las operaciones básicas de aritmética.
Ecuación lineal: Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
Ecuación cuadrática: es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica. Esta ecuación admite tres posibles tipos de soluciones (o raíces): dos números reales diferentes; un número real doble, o dos números complejos conjugados, en función de que sea positivo, cero o negativo su discriminante.
Ecuaciones con radicales: son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz. El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
Ecuaciones de valor absoluto: El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión /x/ = k.
Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la defensa
Universidad nacional experimental politécnica
De las fuerzas armadas
Bachiller:
Alexis Alfonzo
C.I: 2036435
Sección: I006
Petroquímica
Radicales
• Termino de radical: La palabra "radical" deriva del vocablo latino "radix", que significa "raíz". La voz "raíz" se usa con mucha frecuencia en matemáticas modernas para referirse a la base de un sistema numérico, tal como la base 2 en el sistema binario. Sin embargo, la palabra "radical” conserva su significado original de "raíz".
El símbolo radical parecería ser una distorsión de la letra inicial "r" de la palabra "radix". Con el prolongado uso la r perdió gradualmente su significado como letra y se transformó en el símbolo que usamos. El vínculo ayuda a especificar con exactitud cuáles de las letras y números que siguen al símbolo radical pertenecen en realidad a la expresión radical.
• Índice de un radical: El índice de la raíz o radical (excepto en el caso de una raíz cuadrada) se coloca en la abertura del símbolo radical. El índice nos dice qué raíz se pretende extraer del radicando. Por ejemplo el índice de la raíz es 5. La quinta raíz de 32 es lo que se busca.
• Parte sub radical: Son la cantidad de dígitos o variables elevados a cualquier grado que están englobados dentro del radical.
Ejemplo: Las cantidades subradicales serían x2, y, z5.
• Propiedades de los radicales: Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Estas propiedades son de gran importancia ya que gracias a ella podemos realizar todos lo ejercicios con radicación.
Entres las propiedades tenemos: raíz de una raíz, raíz de un apotencia, simplificación de raíz, raíz de un producto, raíz de un cociente, factor fuera de la raíz, raíz semejantes, entre otros.
• Operaciones de radicales: adición y sustracción, multiplicación y división.
• ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Si está indicada la adición o sustracción de radicales semejantes los radicales se combinan sumando y restando sus coeficientes y colocando su resultado al frente del radical. Sumar 3 y 5 es similar a sumar 3 tuercas y 5 tuercas. La suma de los coeficientes -5, -2 y 7 es cero. Por tanto, el coeficiente de la respuesta debería ser cero, Entonces, la respuesta final es cero, puesto que cero multiplicado por cualquier cantidad es cero.
• MULTIPLICACION Y DIVISIÓN: Si un radical se escribe inmediatamente después de otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, ó significan multiplicación. Cuando se indica la multiplicación o división de radicales varios radicales que tengan el mismo índice pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los que poseen el mismo índice se dice que son radicales del mismo orden. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es un radical de segundo orden. Los radicales dos y cinco son del mismo orden.
Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo radical. Por ejemplo, multiplicada por es lo mismo que ; además, es lo mismo que . Si aparecen coeficientes en los radicales éstos también deben unirse en la multiplicación o división.
• Racionalizacion binomica: es cuando hablamos de las expresiones que Tienen el denominador irracional. Esto Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias. Entonces cuando el Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad. Como por ejemplo: (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador.
Ecuaciones.
• Ecuación: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
• Igualdad: En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación. Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y: x = y si y sólo si x es igual a y.
• Grado de una ecuación: El grado de una ecuación se determina en función del valor mayor del exponente en una ecuación, una ecuación algebraica esta constituida por términos algebraicos, cada término esta separado por signos de las operaciones básicas de aritmética.
• Ecuación lineal: Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
• Ecuación cuadrática: es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica. Esta ecuación admite tres posibles tipos de soluciones (o raíces): dos números reales diferentes; un número real doble, o dos números complejos conjugados, en función de que sea positivo, cero o negativo su discriminante.
• Ecuaciones con radicales: son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz. El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
• Ecuaciones de valor absoluto: El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión /x/ = k.
5/12/08
universidad nacional experimental politecnica de la fuerza armada nacional
Isabelica
I-007-D petroquimica
aula 07
matematica
"Los Radicales y Sus Propiedades"
Para sacar un término de un radical se DIVIDE el exponente del radicando por el índice de la raíz y se saca fuera elevado al cociente y queda dentro elevado al resto.
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuaciones.
• Ecuación: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
• Igualdad: En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación. Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y: x = y si y sólo si x es igual a y.
• Grado de una ecuación: El grado de una ecuación se determina en función del valor mayor del exponente en una ecuación, una ecuación algebraica esta constituida por términos algebraicos, cada término esta separado por signos de las operaciones básicas de aritmética.
• Ecuación lineal: Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
• Ecuación cuadrática: es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica. Esta ecuación admite tres posibles tipos de soluciones (o raíces): dos números reales diferentes; un número real doble, o dos números complejos conjugados, en función de que sea positivo, cero o negativo su discriminante.
• Ecuaciones con radicales: son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz. El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
• Ecuaciones de valor absoluto: El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión /x/ = k.
Gallegos maryury
CI: 20594751
Ciu ingeniería petroquímica
SECCION I007
Radical: Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales:
y
es una expresión algebraica con radical.
El grado de un radical es el índice de la raíz.
Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad sub-radical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Propiedades de los radicales.
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la por Raíz de un producto
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
=
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador, así:
• =
Ejemplo:
• =
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
• =
Potencia de una raíz
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
• = .
Ejemplo:
• =
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
=
Ejemplo:
= .
Operaciones con radicales:
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador.
Racionalizacion binomicas y de un ejemplo:
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Ecuaciones:
5.-Definición de ecuación:
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
*Definición de igualdad:
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
*Definición de grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
6.-Que es una ecuación lineal:
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
*Que es una ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Como hallar las soluciones
*Que es un radical:
Un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
Un radical halógeno, es por lo tanto, un elemento de la columna de los halógenos que es propenso a reaccionar con otras moléculas.
*Que es valor absoluto:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Hostos mirna
CI: 20513417
Ciu ingeniería petroquímica
Sección I007
Trabajo de la unidad 04 y 05:
-radical:
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
-propiedades de los radicales:
Raíz de un producto: La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b".
Raíz de un cociente: El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador.
Potencia de una raiz: Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
Raíz de una raíz:Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
-operaciones con radicales:
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
-ecuaciones:Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada.
Núcleo valencia edo Carabobo.
Isabelica.
RADICACION
Profesor:
Luis marcano
Bachiller:
Angelica Miranda
CI:20.730.300
Sección I007
La radicación
es la operación inversa de la potenciación.
Radicación, es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).
Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. El grado de un radical es el índice de la raíz. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE Radicales La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz. Ejemplo simplicar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Cuando los radicales son iguales
la Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
Cuando los radicales son diferentes
Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3) = 6
División de radicales
Radicales del mismo índice
la División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
Radicales de diferentes índice
CASO II - la División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3, 2,4)=12
Ecuación
Igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.
Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad. Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.
Igualdad
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
Grado de una ecuación:
Ecuaciones con una sola incógnita:
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuaciones con varias incógnitas:
Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada).
Ecuación lineal
Ecuación polinómicas de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz +…= k, en donde a, b, c,…, k son números reales y x, y, z,… son las incógnitas.
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma
ax + by = c
Con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma
ax + by + cz = d
Con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.
Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.
Ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Ecuación radical
es aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz
Ecuación de valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue el signo. Se indica poniendo en número entero entre barras como por ejemplo: |+3 |= |-3 | = 3
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación superior
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerza Armada Bolivariana
Trabajo de la unidad 4y 5
Carrera: Petroquímica
Sección : I006
Radical
El término radical viene del Latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Según el contexto radical puede significar:
· En Política:
o Radical, alguna posición que busca ir al fondo o raíz de las cosas, como por ejemplo los àcratas,
o un miembro de alguno de los partidos llamados Radicales o de la unión cívica radical;
· En química, un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
· En Matemáticas:
o el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , que es el número cuya n-ésima potencia es a (ver también raíz cuadrada);
o en teoría de anillo, el Radical de un decimal es una forma de completar el ideal del anillo;
o en teoría de números, el radical de un entero es el mayor entero libres de cuadrados que divide a ese número.
· En la caligrafía china, un radical es cada uno de los trazos básicos que componen un carácter chino
· En Mercadotecnia, un Marketing radical es el cambio total de mercadeo tradicional. Teoría de
Suma de radicales:
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados. Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Reducción De Radicales A Índice Común
Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.
Por ejemplo, para el m.c.m.(4, 6, 3) = 12. Por tanto:
Los radicales tienen el mismo índice y son respectivamente iguales a los tres iniciales.
Multiplicación de radicales con el mismo índice
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
· · =
Multiplicación de radicales con diferente índice
Ejemplo:
· ·
Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 · 5 = 20.
Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.
· · = ·
El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
· · = ·
Ahora, se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice ya que ambas raíces poseen índice 20:
· =
Si es posible, se realiza una extracción de factores, como en este caso:
=
Ecuaciones:
Definición:
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas.
En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.
En la ecuación: ax + b = c
a, b y c son coeficientes, x es la incógnita
En la ecuación 5z – 4 = 16
Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.
Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
Definición de en Igualdad matemática:
En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencias entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.
Ecuación de primer grado
Se dicen que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente sería 1.
Resolución de ecuaciones de primer grado
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej.: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej.: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x
Y simplificamos el segundo miembro: 28+396+9+92 = 525
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).
Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej.: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo).
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
por tanto, simplificando, la solución es:
Ecuación de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica:
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática) podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula resolvente de dicha ecuación. Considerando,
donde para forzar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.
Ecuación Radical:
Se llama ecuación Radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIANAL EXPERIMENTAL POLITECNICA E LA FUERZA ARMADA
EXTENSION- LA ISABELICA
BACHILLER:
YEXIMAR CHINEA
SECCION:I006
AULA-07
CIU:ING.PETROQUIMICA
TÉRMINO RADICAL
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
Raíz de una raíz, raíz de una potencia, simplificación de radicales, ampliación de radicales, raíz de un producto, raíz de un cociente, suma de radicales, reducción a índice común, racionalización de denominadores, cociente de radicales, cociente de radicales de diferentes índices, radicales semejantes y no semejantes, adicción y sustracción entre radicales semejantes y no semejantes.
OPERACIONES RADICALES:
SUMAS
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplo:
a)Se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b)Si los radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5.
b)No son semejantes,se suman los que son semejantes,
y ya no podemos hacer nada más.
MULTIPLICACIÓN
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
No tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.Ahora si se pueden multiplicar.
RACIONALIZACIÓN BINÓMICA
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
DEFINICIÓN DE IGUALDAD
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
GRADO DE ECUACIÓN
En Álgebra la palabra grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a una ecuación algebraica.
GRADO DE UN POLINOMIO
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como gr.(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo: =( . )( . )
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.
GRADO DE UNA ECUACIÑON ALGEBRAICA
Ecuaciones con una sola incógnita
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACIÑON LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA
EXTENCION ISABELICA
VALENCIA EDO CARABOBO
BACHILLER:
ARMENDEINYS VALERO RAMIREZ
CI: 20429254
Aula:07 sección: I-006
Petroquímica
Diciembre; 2008
Radicación:
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
El grado de un radical es el índice de la raíz.
Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Ejemplo:
es un radical, el número a se llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo es el signo radical.
Si , entonces ; esto es, .
En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.
La Parte sub_radical: este también conocido como la base, es el número que está contenido dentro de la raíz.
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES:
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo:
• = .
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
La racionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en el denominador de la fracción.
Racionalización de binomio de índice 2 [editar]
Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Ejemplo:
•
En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
• • =
Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:
= = =
Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Reducción de radicales a índice común:
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Ecuación:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Igualdad:
Una IGUALDAD se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 • (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Cierta
2x + 2 = 2 • (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.
Ecuación de primer grado
Se dicen que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente sería 1.
Resolución de ecuaciones de primer grado:
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
Ecuaciones de segundo grado [editar]
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 [editar]
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
Pasamos -16 al segundo miembro
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 [editar]
Tengamos:
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 [editar]
Si tenemos la ecuación cuadratica:
Para resolver ecuaciones cuadraticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
Si el resultado obtenido dentro de la raiz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
Clasificación:
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.
Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0
Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:
x1 + x2 + ... + xn = -a1
x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
x1x2...xn = (-1)nan
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
c) Por el número de términos
c1) Ecuaciones binómicas:
Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
c2) Ecuaciones polinómicas:
Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.
Ecuación lineal:
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
• Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación cuadrática:
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9.
Una ecuación cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una ecuación de la forma
y con
Ejemplos:
Utilizando la siguiente propiedad de los números reales:
la podemos aplicar para resolver ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ecuación Radical:
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante
Ejemplo
Son ecuaciones radicales:
a.
b.
c.
d.
e.
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número real es su valor despues de quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.
Se nota |x| el valor absoluto de x; En las calculadores y los ordenadores se utilizan las letras abs.
Por ejemplo: | - 4,5 | = 4,5 (se quita su signo negativo) y | 3,14 | = 3,14 (no se modifica).
Visto como función, el valor absoluto se define distinguiendo según el signo del número:
Su representación gráfica coincide con la diagonal y = - x cuando x es negativo, y con la diagonal y = x cuando es positivo (ver figura).
En la enseñanza existen varias maneras de definir este concepto sencillo, dependiendo de la edad de los alumnos.
El momento idóneo es cuando se acaba de aprender los números negativos (los alumnos tienen diez años aproximadamente). La notación en este punto del cursus suele ser así: (+7) para 7 y (-5) para -5, es decir que todos los números llevan un signo y se escriben entre paréntesis.
Resulta muy intuitivo presentar el valor absoluto como el número sin su signo. De hecho, se puede "descomponer" cada número en su signo y su valor absoluto:
El principal interés inmediato es la facilidad con la que se puede explicar la suma y el producto de dos números relativos:
La suma de dos números de mismo signo es otro de mismo signo que se obtiene sumando sus valores absolutos.
La suma de dos números de signos opuestos tiene el signo del número de mayor valor absoluto, y su valor absoluto es la diferencia (positiva) de los valores absolutos.
El producto de dos números se obtiene multiplicando los valores absolutos y aplicando la regla de los signos ( - por - da + etc.)
Luego, cuando están ya familiarizados con el tema, se identifican los números positivos con los naturales, es decir que se quitan el signo positivo y los paréntesis: (+5) vuelve a escribirse 5, y (-7) se escribe -7, pues (+5) + (-7) y (+5) - (+7) dan el mismo resultado, que se conviene escribir 5 - 7; y la noción de valor absoluto ya no tiene la misma visibilidad.
La necesidad de hablar de nuevo de valor absoluto surge cuando se toca el tema de las distancias entre puntos en una recta graduada (para alumnos de 15 años aproximadamente). Esto se hace considerando sus abscisas y observando que el valor absoluto de un número cualquiera es naturalmente la distancia entre el punto correspondiente y el origen: d (0, x) = |x|
Luego se calcula la distancia entre dos puntos cualesquieran de la recta así:
(ejemplos en la figura).
La distancia luego el valor absoluto permite caracterizar los intervalos abiertos y cerrados:
donde
es el centro de intervalo y
es su radio. Del mismo modo:
.
Es decir que un intervalo es el conjunto de los puntos cuya distancia al centro del mismo es inferior (o igual) a su radio (ejemplos en la figura).
Propiedades fundamentales [editar]
1. |a| ≥ 0 No negatividad
2. |a| = 0 ←→ a = 0
Definición positiva
3. |ab| = |a| |b| Propiedad multiplicativa
4. |a+b| ≤ |a| + |b| Propiedad aditiva
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA
UNEFA-NUCLEO CARABOBO
EXTENCION LA ISABELICA
INTEGRANTE:
Olivo Yhonaiker
C.I:20521682
SECCION I-007
Definición de radical
Publicado por wgs84 en Domingo, 23 Septiembre, 2007
La radicación es la operación inversa a la potenciación y se define así:
Es decir porque
La raíz n-ésima de un número “a” es otro número “b” si y sólo s b elevado a n es igual a “a”
Partes de un radical:
• es el signo radical
• n es el índice
• a es el radicando
• b es la raíz o solución de radical
La raíz de un radical es el número que hay que elevar al índice para obtener el radicando
Signo y número de soluciones de un radical en el conjunto R
• Si el radical es de índice par y el radicando es negativo no existe solución. La será igual a un número x que desconocemos. Por definición de radical tendremos que y esto es imposible en el conjunto de los números reales (cualquier número al cuadrado es positivo).
• Si el radical es de índice par y radicando positivo tiene dos raíces opuestas(iguales pero de distinto signo). porque y
• Si el radical tiene índice negativo tiene una única solución con el mismo signo que el radicando. porque . porque
Ejercicios: trabajaremos con la descomposicón en factores primos de los radicandos
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cuando trabajemos con radicales algebraicos no tendremos en cuenta el doble signo de los radicales de índice par
1.
2.
3.
Suma de radicales:
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados. Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Reducción De Radicales A Índice Común
Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.
Por ejemplo, para el m.c.m.(4, 6, 3) = 12. Por tanto:
Los radicales tienen el mismo índice y son respectivamente iguales a los tres iniciales.
Racionalización De Denominadores
Las expresiones tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo, por otro radical del mismo índice,
y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
División de radicales de igual índice
Esta operación es conocida también como cociente de radicales. Para dividir los radicales de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se coloca el mismo índice en el radical.
Ejemplo:
• = =
• = = =
División de radicales de diferente índice
Es también conocida como cociente de radicales. El proceso es bastante similar al de la multiplicación de radicales
Ejemplo:
•
Hay que determinar el mínimo común múltiplo de los índices. Éste será el índice de todos los radicales del cociente o fracción. En este caso el mínimo común multiplo es 5.7 = 35. El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, esa será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
= = =
Ahora, se realiza una división de radicales de igual índice restando dejando la misma base y restando los exponentes:
=
Ahora, se realiza una extracción de factores de radical, en caso de que sea posible:
=
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices
OPERACIONES CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
ahora si se pueden multiplicar
g)
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por.
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por.
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
Igualdad:
Una IGUALDAD se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser:
Falsa:
2x + 1 = 2 • (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.
Cierta
2x + 2 = 2 • (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.
Grado de una ecuación.
En Álgebra la palabra grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a una ecuación algebraica.
Grado de un polinomio
Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como
gr.(P(x)), y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.
Ejemplo: =( . )( . )
La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios
Grado de una ecuación algebraica
Ecuaciones con una sola incógnita
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
Ecuación lineal.
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
República Bolivariana de Venezuela Ministerio
Del Poder popular para la defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De la Fuerza Armada Núcleo- Isabelica
Radical:
En general, es toda indicada de una cantidad. Si una raíz indicada es exacta tenemos en cantidad racional, y de no serlo así es irracional.
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Definición de Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad
Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática en una variable x con coeficientes reales es una ecuación de la forma
y con
Ecuación Lineal
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia
• ¿Qué es una ecuación de valor absoluto?
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto ya que el absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+8| = | -8| = 8
¿Qué es una ecuación radical?
Llamamos ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical donde subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas se representa con una raíz
Operaciones con radicales:
Suma y resta
Simplifíquense los radicales dados si es posible y efectúense las operaciones indicadas y es necesario que sean semejantes, primero descomponemos en factores primos las cantidades subradicales para simplificar .Multiplicación de radicales
Multiplicación de radicales
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
• • =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz y se llaman radicales semejantes ya tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Índice de un radical: es el exponente de la potencia.
Igualdad: Es aquella que resulta de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor y la condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad
Grado
El grado de una ecuación es el mayor de los exponentes a los que está elevada una incógnita. Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes debemos calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación y este se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio.
Bachiller: Perdomo Maria
Carrera: Petroquìmica
Aula: 07
Profesor: Luis Marcano
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA UNEFA
NUCLEO, ISABELICA.
BACHILLER:
SANCHEZ MAYERLING
PROFESOR: 20.664.478
LUIS MARCANO. AULA I007
VALENCIA, DICIEMBRE DE 2008
RADICACION
La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, de otro número determinado.
Termino radical:
Los términos de la radicación son: el radicando, el índice radical y la raíz.
El radicando: es cualquier número dado del que deseamos hallar la raíz.
El índice radical: indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un número para obtener el radicando.
La raíz: es el número que multiplicado por si mismo las veces que indica el índice radical da el radicando.
Propiedades de las radicales
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
Simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
Conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
Común).
Segunda:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
Sacar un factor fuera de la raíz;
De modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
Tercera:
Ejemplos:
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.
Cuarta:
Ejemplos:
Quinta:
Ejemplos:
Operaciones con radicales:
Radicación de una suma y resta:
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicando no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
Radicación de una multiplicación:
La raíz N de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces de todos los factores con índice radical N.
DEMOSTRACIÓN:
Sea la radicación que puesta en forma potencial sería (AxB)1 / I = C y que según la propiedad de potencia de un producto, que dice: la potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados al mismo exponente. De lo enunciado resultaría (AxB)1 / I = A(1 / I)xB(1 / I) = C y como y resultará que
Ejemplo:
Racionalización Binómico:
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Ecuación:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Igualdad: La condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad.
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
Ecuación lineal: Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ecuación una cuadrática: Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Ecuación Radical: Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
Ecuación de valor absoluto:
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
de la seccion I006 de ingeneria petroquimica
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De Las Fuerzas Armadas
(UNEFA)
Nucleó La Isabelica
Integrante:
Freites Miguel
C.I. 20242487
Sección I006
Carrera
Ingeniería petroquímica
Valencia 06 de Diciembre del 208
Termino Radical
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
Índice de Un Radical
El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice dos se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es dos.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
Ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
Operaciones con radicales suma y multiplicación
4. Suma de radicales:
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados. Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Reducción De Radicales A Índice Común
Para conseguir que varios radicales se transformen en otros con el índice común, se halla el mínimo común múltiplo, m, de los índices y se transforma cada uno de ellos en otro con índice m.
Por ejemplo, para el m.c.m (4, 6, 3) = 12. Por tanto:
Los radicales tienen el mismo índice y son respectivamente iguales a los tres iníciales.
Racionalización De Denominadores
Las expresiones tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo, por otro radical del mismo índice,
y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
5. Cociente De Radicales
________________________________________
Para efectuar:
Colocamos un radical del mismo índice (n) y dividimos las cantidades subradicales.
________________________________________
Para efectuar:
Ejemplo:
Como el índice es el mismo colocamos el dividendo y el divisor en un solo radical y dividimos.
Cociente De Radicales De Diferentes Índices
Para calcular el cociente de dos radicales de diferentes índices seguimos este procedimiento.
Calculamos el m.c.i. de los índices de los radicales dados.
Multiplicamos cada exponente resultante de la división entre el m.c.i. y cada índice.
Dividimos los radicales de igual índice y simplificamos el resultado.
________________________________________
m.c.i. (8,6)=24
________________________________________
________________________________________
Radicales Semejantes Y No Semejantes
No son semejantes porque no tienen igual índice.
Ejemplo:
No son semejantes porque no tienen igual cantidad subradical
Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.
Adición y sustracción entre radicales semejantes.
Todos tienen el mismo índice (3) y la misma cantidad subradical (5) por lo que no son semejantes.
Para efectuar adición y sustracción de radicales semejantes, operamos con los coeficientes de los radicales 8, -2 y 6; manteniéndose el mismo radical
Adición y sustracción entre radicales no semejantes.
Cuando los radicales no son semejantes debemos transformarlo mediante la simplificación o amplificación de un radical común.
Para efectuar la adición y sustracción de dos o más radicales, procedemos de la siguiente manera:
Si son semejantes, obtenemos el factor común del radical y súmanos algebraicamente los coeficientes.
Si no son semejantes, simplificamos para convertirlos en semejantes.
Multiplicación de Radicales
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3) = 6,
Definición de Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Definición de Igualdad
Es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ejemplo: a=b+c 3 = 4x+15
Grado de una Ecuación
El grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
Así 4x-6=3x-1 y ax + b= x+c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.
La ecuación -5x+6 0 es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de `primer grado se llaman simples o lineales.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma para métrica
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones.
Ecuación cuadrática
Una función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:
donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.
La representación gráfica en el plano xy haciendo:
Esto es:
Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Extensión- La Isabelica
Bachiller: Mota s. Yogel A.
C.I: 20242087
Sección: I- 006
Carrera: Ing. Petroquímica
RADICACIÓN:
La radicación es una operación inversa de la potenciación. Esta consiste en determinar la base de un número cualquiera, conocidas la potencia y el exponente, es decir, si ´´a´´ es un número real y ´´n´´ un número positivo, entonces la radicación consiste en hallar un número b tal que bⁿ = a.
1.- Término radical, Índice de un radical, parte sub. Radical.
1.1) Término radical: es un término que me denota la potencia de un número cualquiera en forma de raíz. Es una expresión de la forma, por ejemplo , donde sus elementos están representados por un coeficiente (1) en este caso pero cabe destacar que puede ser un número real cualquiera, el símbolo radical , el índice de la raíz que también puede ser un número real y la cantidad subradical.
1.2) Índice de un radical: es un número natural que determina el grado o exponente de una raíz y por ende de la cantidad subradical, es decir, es el máximo exponente de una raíz. Por ejemplo si se tiene la potencia 5 a la dos, eso es igual a 25, ahora bien si lo expresamos en forma de radical este tendría que ser de índice 2 para poder sacar su raíz exacta, es decir, la raíz cuadrada de 25 va ser igual a 5.
1.3) Parte subradical: esta está representada por la base del exponente de un número real, es decir, es un miembro o expresión algebraica interna dentro del signo radical.
2.- Propiedades de los radicales.
a) Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces. Por ejemplo
=
b) Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces. Por ejemplo
=
c) Raíz de una potencia
Para calcular una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz. Por ejemplo
= .
d) Raíz de una raíz
Para calcular una raíz a una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical. Por ejemplo
=
3.- Operaciones con radicales: Suma y Multiplicación y de un ejemplo de cada una.
3.1) Suma
Para sumar (o restar) radicales, estos tienen que poseer el mismo índice e igual radicando, es decir tienen que ser semejantes. Por ejemplo
3.2) Multiplicación
Con el mismo índice: estos tienen que poseer, al igual que en la suma, el mismo índice, es decir este se conserva y se multiplican las cantidades subradicales, luego de hacer esa operación se extraen los factores del radical si es posible. Ejemplo
Con distinto índice: para multiplicar radicales de distinto índice, primero se reducen a un mismo índice y luego se multiplican, es decir se saca el mínimo común múltiplo. Ejemplo
4.- Racionalización Binómica y de un ejemplo.
Una racionalización binómica, es una racionalización de tipo , donde se puede observar que el denominador es un binomio, en pocas palabras cuando se habla de racionalización binómica estamos hablando de la “presencia de un binomio”. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, el cual es igual al binomio con el signo central cambiado. Ejemplo
ECUACIONES:
5.- Definición de ecuación, definición de igualdad y de grado de una ecuación.
5.1) Definición de ecuación: las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que aparecen en la resolución de problemas de un tipo muy corriente, como son los de determinar el valor de una cantidad o una magnitud en el supuesto de que haya que cumplir unas determinadas condiciones.
5.2) Definición de igualdad: una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones algebraicas.
5.3) Grado de una ecuación: es el índice o exponente máximo de la o las variables que intervienen en una ecuación.
6.- Que es una ecuación lineal, una cuadrática, una radical y una de valor absoluto.
6.1) Ecuación lineal: es una igualdad de primer grado, en la cual aparece una o más incógnitas, que pueden estar en cualquiera de los miembros de dicha ecuación. Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano están representadas por rectas.
6.2) Ecuación cuadrática: es una igualdad de la forma ax²+ bx + c, donde b y c pertenecen al conjunto de los números reales y “a” es distinta de cero. si los coeficientes b y c son también ambos distintos de cero, la ecuación se denomina completa, e incompleta en caso contrario. El monomio ax² es el término cuadrático, el monomio bx es el término lineal y el coeficiente c es el término independiente. La ecuación cuadrática en el sistema cartesiano está representada por una parábola.
6.3) Ecuación radical: son ecuaciones que presentan la incógnita en la cantidad subradical. Cabe destacar que por lo general en este tipo de ecuaciones se presentan productos notables.
6.4) Ecuación de valor absoluto: son igualdades que involucran en uno de sus miembros un valor absoluto a una expresión algebraica. El valor absoluto no es más que un número o una expresión que está contenida entre dos barras verticales que denotan el signo contrario de dicho número, y esto nos ayuda a determinar fácilmente la incógnita.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
UNEFA-NUCLEO CARABOBO
EXTENCION LA ISABELICA
INTEGRANTE:
Yenifer Contreras
C.I:20496712
SECCION I-006
Aula: 7
1 La radicación
es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
1.1Término radical:
es un término que me denota la potencia de un número cualquiera en forma de raíz. Es una expresión de la forma, por ejemplo , donde sus elementos están representados por un coeficiente (1) en este caso pero cabe destacar que puede ser un número real cualquiera, el símbolo radical , el índice de la raíz que también puede ser un número real y la cantidad subradical.
1.2Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
1.3Parte subradical:
esta está representada por la base del exponente de un número real, es decir, es un miembro o expresión algebraica interna dentro del signo radical.
2 Propiedades de los radicales
2.1Radicales del mismo índice:
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
2.2Radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
2.3Cociente de radicales:
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
2.4Radicales de distinto índice:
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
2.5Raíz de un radical:
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
2.6Racionalizar radicales:
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
3 Operaciones con radicales:suma y multiplicacion
3.1Suma y resta de radicales
Decimos que dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice e igual radicando.
Para sumar o restar radicales semejantes, se suman o restan los coeficientes y se mantiene el mismo radical.
3.2multiplicacion:
Si un radical se escribe inmediatamente después de otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, ó significan multiplicación.
Cuando se indica la multiplicación o división de radicales varios radicales que tengan el mismo índice pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los que poseen el mismo índice se dice que son RADICALES DEL MISMO ORDEN. Por ejemplo, es un radical de segundo orden. Los radicales y son del mismo orden.
Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo radical.
4 Una racionalización binómica
Es una racionalización de tipo , donde se puede observar que el denominador es un binomio, en pocas palabras cuando se habla de racionalización binómica estamos hablando de la “presencia de un binomio”. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, el cual es igual al binomio con el signo central cambiado.
5 Ecuaciones:
5.1 Definicion de ecuacion
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
5.2 Definición de igualdad:
una igualdad es una relación de equivalencia entre dos expresiones algebraicas
5.3 Grado de una Ecuación
El grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
Así 4x-6=3x-1 y ax + b= x+c son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.
La ecuación -5x+6 0 es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de `primer grado se llaman simples o lineales.
6.1 Que es una ecuacion lineal
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
6.2 una cuadratica
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
6.3 ecuacion radical
son ecuaciones que presentan la incógnita en la cantidad subradical. Cabe destacar que por lo general en este tipo de ecuaciones se presentan productos notables.
6.4 Ecuación de valor absoluto:
son igualdades que involucran en uno de sus miembros un valor absoluto a una expresión algebraica. El valor absoluto no es más que un número o una expresión que está contenida entre dos barras verticales que denotan el signo contrario de dicho número, y esto nos ayuda a determinar fácilmente la incógnita.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Extensión La Isabelica Edo. Carabobo
Bachiller:
Nombres y Apellidos:
Carmen Lara
CI: 20.313.978
ING. Petroquímica
Sección: I 006
RADICACIÓN
1. Termino Radical: es toda la raíz indicada de un número o de una expresión algebraica. Así. , , . Son expresiones radicales.
Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional.
Si no es exacta, es irracional. Las expresiones irracionales como , son las que comúnmente se llaman radicales.
2. Índice de un radical: es el que indica el grado de un radical. Así:
Es un radical de segundo grado.
Es un radical de tercer grado.
Es un radical de cuarto grado.
3. Parte Sub-radical: es la cantidad a la cual se le extrae la raíz, por eso es llamada cantidad sub-radicar.
4. Propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo:
• = .
Raíz de un producto
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
=
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
Raíz de un cociente
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador, así:
• =
Ejemplo:
• =
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
• =
Potencia de una raíz
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevada sólo la cantidad subradical.
• = .
Ejemplo:
• =
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
=
Ejemplo:
=
5. Operaciones con Radicales:
Suma y resta de radicales:
Regla: se simplifican los radicales dados; se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.
Ejemplo:
= + -
= + -
= (3,1+3,8-6)
= 0,9
Multiplicación de radicales:
Multiplicación de radicales del mismo índice
Regla: se multiplica los coeficiente entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: por 3
= 2 . 3 = 6
=6 = 30
Multiplicación de radicales de distinto índice
Regla: se reduce los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice.
Ejemplo: 5 por
5 = 5 = 5
= =
=5 . = 5
=5 = 10ª
Multiplicación de radicales compuestos
El producto de un radical compuesto por uno simple se halla como el producto de un polinomio por un monomio, y el producto de dos radicales compuestos se halla como el producto de dos polinomios.
6. Radicación Binómico:
7. La radicacion de binómico es un polinomio que consta de dos términos, como
ECUACIÓN
1. Definición: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que se denomina miembro de la misma.
2. Igualdad: es una expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
3. Grado de una ecuación: es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.
4. Ecuación lineal: las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.
5. Ecuación Cuadrática: ecuación polinómica de segundo grado
es decir, ax2+ bx + c = 0
con a ≠ 0. Se resuelve mediante la fórmula: x=
6. Ecuación radical: Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como: - 3x+2=8
7. Ecuación de valor absoluto: son igualdades que involucran en uno de sus miembros un valor absoluto a una expresión algebraica.
Se define que para cada número real , se define su valor absoluto y se denota , de la siguiente manera:
a. ó
b. si
Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:
Aplicando esta definición o expresiones de la forma se tiene:
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politecnica de la Fuerza Armada
Extencion-Isabelica
Valencia, edo Carabobo
Bachiller: Damelys Rodriguez
C.I:20.356.508
Seccion:I006
Aula:07
Ing Petroquimica
Radicacion:
Es una operacion inversa a la potenciacion, consiste en determinar la raiz o base de un numero; es decir la raiz "n"-esima de "a" donde "a" es un numero real y "n" un numero positivo; tarta de hallar un numero "b" tal que "b" de por resultado "a".
Termino radical: Es el que me indica la potencai de un numero en forma de raiz.
Indice: Es el numero que me indica el grado o exponente al que es eleva una raiz.
Sub-radical: Es la base del exponente y se encuentra en la parte interna de la raiz.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Operaciones con radicales:
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
ejemplo:
A n\/k + B n\/k + C n\/k = (a+b+c)n\/k
Multiplicación de radicales con el mismo índice:
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
ejemplo:
\/2 . \/3 =\/6
Multiplicación de radicales con diferente índice :
*Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación.
*Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.
*El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.
*luego se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice.
Racionalizacion Binomica:
Es una racionalización, donde se puede observar que el denominador es un binomio, es decir, cuando que estamos hablando de la “presencia de un binomio”. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, el cual es igual al binomio con el signo central cambiado.
Ecuacion:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Ecuación polinómica :
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero.
Ecuación de primer grado (lineal):
Se dicen que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente sería 1
Resolucion de ecuacion de primer grado
Transposicion:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando,
Todos los términos que poseen la variable x quedaN en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros quedan en el segundo miembro (a la derecha).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x
Y simplificamos el segundo miembro: 28+396+9+92 = 525
La ecuación simplificada será:
95x= 525
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).
Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo).
Es decir: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
95x= 525
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
por tanto, simplificando, la solución es:
x= 105/19
Resolución de ecuaciones de primer grado:
Problema:
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
x+3=2x-2
Se prodria leer así: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
x+3=2x-2
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
x-2x=-2-3
Que, simplificado, resulta:
-x=-5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
x=5
El problema está resuelto.
Ecuaciones de segundo grado (cadratica):
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
* Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado.
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
x(3x+9)=0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
3x+9=0
3x=-9
x=9/3=-3
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 [editar]Si tenemos la ecuación cuadratica:
Podemos resolver ecuaciones cuadraticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a "b", y multiplicados son igual a "c".
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
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RADICACION
Radicación, es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número (b) de veces nos da el numero (a).
TERMINO DE RADICAL
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta
Un radical es una expresión de la forma , en la que n N y a R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Las partes de un radical son cuatro:
1) Radicando
2) Índice
3) Signo radical
4) Raíz
ÍNDICE
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
El índice es el 3 formando una raíz cúbica.
Cuando no existe índice en el símbolo de raíz es porque se trata de raíz cuadrada. Ejemplo: (Raíz cuadrada de tres)
CANTIDAD SUBRADICAL O RADICANDO:
Son la cantidad de dígitos o variables elevados a cualquier grado que están englobados dentro del radical.
Ejemplo: x2y z5Las cantidades subradicales serían x2,y,z5
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Si está indicada la adición o sustracción de radicales semejantes los radicales se combinan sumando y restando sus coeficientes y colocando su resultado al frente del radical. Sumar 3 y 5 es similar a sumar 3 tuercas y 5 tuercas. Los siguientes ejemplos ilustran la adición y sustracción de expresiones con radicales semejantes:
El ejemplo 4 muestra un caso que a veces es confuso. La suma de los coeficientes -5, -2 y 7 es cero. Por tanto, el coeficiente de la respuesta debería ser cero, como sigue:
Entonces, la respuesta final es cero, puesto que cero multiplicado por cualquier cantidad es cero.
Ejemplos:
MULTIPLICACION Y DIVISIÓN
Si un radical se escribe inmediatamente después de otro radical se entiende que se multiplican. A veces se coloca un punto entre los radicales, pero no siempre. Entonces, ó significan multiplicación.
Cuando se indica la multiplicación o división de radicales varios radicales que tengan el mismo índice pueden combinarse en un solo radical, si se lo desea. Los que poseen el mismo índice se dice que son RADICALES DEL MISMO ORDEN. Por ejemplo, es un radical de segundo orden. Los radicales y son del mismo orden.
Si los radicales son del mismo orden los radicandos pueden multiplicarse o dividirse y colocarse bajo un solo símbolo radical. Por ejemplo, multiplicada por es lo mismo que ; además, es lo mismo que . Si aparecen coeficientes en los radicales éstos también deben unirse en la multiplicación o división. Esto queda ilustrado en los siguientes ejemplos:
Es importante observar que lo que hemos dicho acerca de la multiplicación y división no se aplica a la adición. Un error típico es tratar la expresión como si fuera equivalente a . Estas expresiones no son equivalentes, ya que 3 + 2 no es equivalente a .
Factoreo de radicales. - Un radical puede desglosarse en dos o más radicales del mismo orden si es posible factorear el radicando. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos:
Simplificación de radicales
Algunos radicales pueden convertirse a una forma equivalente más fácil de emplear. Un radical está en su forma más simple cuando no puede extraerse ningún factor de él, cuando no hay fracción bajo el signo radical y cuando el índice de la raíz no puede reducirse. Es posible extraer un factor del radical si éste aparece un número de veces igual al índice de la raíz. Los ejemplos que siguen ilustran esto:
Sacar un factor que aparece un número de veces igual al índice de la raíz es equivalente a separar un radical en dos radicales tales que uno de los radicandos es una potencia perfecta. El signo radical puede eliminarse del número que es un cuadrado, cubo, cuarta potencia perfecta, etcétera. La raíz extraída se transforma en el coeficiente del radical remanente.
Para poder simplificar radicales con facilidad conviene conocer los cuadrados de los números enteros hasta 25 y algunos de las potencias más pequeñas de los números 2, 3, 4, 5 y 6. La tabla 7-1 muestra algunas potencias de los números usadas a menudo.
-La racionalización consiste en transformar fracciones que tengan radicales en el denominador en otras equivalentes que no los tengan. Se distinguen dos tipos diferentes, según sea el denominador: denominadores con un radical y denominadores con un binomio.
Racionalización de fracciones con un binomio en el denominador
1. a) 1 2 - 3
2. b) 2 3 3 + 7
3. c) 4 3 + 5
1. a) 1 2 - 3 = 1 • ( 2 + 3 ) ( 2 - 3 ) • ( 2 + 3 ) = ( 2 + 3 ) 2 2 - 3 = 2 + 3
2. b) 2 3 3 + 7 = 2 3 • ( 3 - 7 ) ( 3 + 7 ) • ( 3 - 7 ) = 2 3 • ( 3 - 7 ) 9 - 7 = 2 3 • ( 3 - 7 ) 2
3. c) 4 3 + 5 = 4 • ( 3 - 5 ) ( 3 + 5 ) • ( 3 - 5 ) = 4 • ( 3 - 5 ) 3 - 5 = - 2 • ( 3 - 5 )
También puede ocurrir que se den los dos casos anteriores en una única fracción, como muestra el siguiente ejemplo:
ECUACIONES:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
IGUALDAD:
Podemos decir que una igualdad puede ser numérica o algebraica.
a) La igualdad es numérica si solo tiene números. Por ejemplo 5.(5+2) =35.
Las igualdades numéricas pueden ser verdaderas o falsas.
La igualdad numérica 3 + 2 = 5 es verdadera.
En cambio 3 + 2 = 6 es falsa
b) La igualdad es algebraica (o literal) si tiene números y letras. Por ejemplo 3x = 6
Las igualdades algebraicas pueden ser identidades si se cumplen siempre o ecuaciones cuando solo son ciertas para algunos valores.
La igualdad algebraica 2x = x + x es una identidad.
La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuación.
Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.
GRADO DE UNA ECUACION
Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x3 + 6x − 4 = 1 − x2 es una ecuación algebraica que lleva (la x). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACION LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
• Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
• Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
• Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
• Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones
Linealidad
Una función es lineal si y solo si cumple con la siguiente proposición:
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(ax) = af(x)
donde a es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal.
ECUACION CUADRATICA:
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:
La expresión:
conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo dos soluciones reales
cero una solución real
negativo dos soluciones imaginarias
ECUACION RADICAL
Definición
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
Ejemplo
Son ecuaciones radicales:
a.
b.
c.
d.
e.
El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO:
Valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los números reales, cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo _Valencia
Extensión_Isabelica
Radicación y Ecuaciones
Profesor: Luis Marcano
Bachiller: Yennyrel Collantes C.I 20.730.890
Ingeniería Petroquímica Sección I_007
Radicación y Ecuaciones
Radical: Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo. Por ejemplo, son radicales y es una expresión algebraica con radical. Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad sub radical.
Índice de un radical: es el exponente de la potencia.
Parte sub radical: este también conocido como la base, es el número que está contenido dentro de la raíz.
Propiedades de los radicales:
Potencia de una raíz: El denominador en un exponente racional es la raíz y el numerador es el exponente de la base. Da lo mismo hallar la potencia y luego la raíz que hallar la raíz y luego la potencia.
Raíz de un producto: La raíz de un producto es el producto de las raíces.
Raíz de un cociente: La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.
Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
Operaciones con radicales
Suma y resta de radicales: Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Racionalización binómica: Para racionalizar un binomio de índice 2, se multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma. Este resultado va quedar de la forma de producto notable de los binomios. Luego se despejan las raíces del denominador.
Ecuaciones: Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s).
Igualdad: Es aquella expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor. La condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad.
El grado: El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio.
Ecuación lineal: Una ecuación lineal es una ecuación donde solamente se realizan operaciones de sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
Ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado: Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita.
Ecuación radical: Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz
Ecuación de valor absoluto: Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
NÚCLEO ISABELICA – CARABOBO
RADICACIÓN
INTEGRANTE:
Rut Nohemí
CI: 20.706.106
Sección: I007
Diciembre, 2008
TERMINO DE RADICAL
Un radical es una expresión de la forma √(n&a), en la que n ∈ N y a ∈ R; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Las partes de un radical son cuatro:
1) Radicando
2) Índice
3) Signo radical
4) Raíz
ÍNDICE
Es la cifra que se coloca en la parte superior izquierda del radical
Ejemplo:
∛5 El índice es el 3 formando una raíz cúbica.
Cuando no existe índice en el símbolo de raíz es porque se trata de raíz cuadrada. Ejemplo: √3 (Raíz cuadrada de tres)
CANTIDAD SUBRADICAL O RADICANDO:
Son la cantidad de dígitos o variables elevados a cualquier grado que está englobado dentro del radical.
Ejemplo: √x2y z5 Las cantidades subradicales serían x2,y,z5
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Producto de radicales
*Radicales del mismo índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
*Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
*Cociente de radicales: Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
*Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
*Potencia de radicales: Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
*Raíz de un radical: es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
OPERACIÓN CON RADICALES
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos: a) √5+2√5-6√5=3√5 O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
Multiplicaciones y divisiones
Radicales del mismo índice: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Ejemplos: a) √5.√2=√10
Radicales de distinto índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Ejemplo: a) √3.∛9.∜27
m.c.m (2, 3, 4) = 12
RACIONALIZACIÓN
Monomio de índice 2
Para racionalizar un monomio de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Ejemplo: 6/(√2)
En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por √2
6/(√(2 ) ) . √2/√2
BINOMIO DE ÍNDICE 2
Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Ejemplo: 2/(√2+ √3)
En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por √2-√3; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
2/(√2+ √3 ) . (√2- √3 )/(√2- √3)
ECUACIÓN
Es una igualdad algebraica que se verifica para ciertos valores de la variable. Con otras palabras: Es una igualdad en las que aparecen números y letras (llamadas incógnitas o variables) relacionados mediante operaciones matemáticas.
La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido.
Cuando la ecuación sólo contiene una letra le llamamos ecuaciones con una incógnita.
(Habitualmente, la x, pero no necesariamente). Decimos que las ecuaciones son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (el exponente es 1 y puede omitirse).
IGUALDAD
Podemos decir que una igualdad puede ser numérica o algebraica.
a) La igualdad es numérica si solo tiene números. Por ejemplo 5.(5+2) =35.
Las igualdades numéricas pueden ser verdaderas o falsas.
La igualdad numérica 3 + 2 = 5 es verdadera.
En cambio 3 + 2 = 6 es falsa
b) La igualdad es algebraica (o literal) si tiene números y letras. Por ejemplo 3x = 6
Las igualdades algebraicas pueden ser identidades si se cumplen siempre o ecuaciones cuando solo son ciertas para algunos valores.
La igualdad algebraica 2x = x + x es una identidad.
La igualdad algebraica 2x = 8 es una ecuación.
GRADO DE UNA ECUACIÓN
El grado de una ecuación es el mayor exponente con que figura la incógnita en la ecuación una vez realizada todas las operaciones.
Ejemplo: 3x+5=11 ; el exponente de la variable es 1.
ECUACIÓN LINEAL
Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS
Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica: ax^2 + bx+c=0
La ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula:
(-b±√(b^2-4ac))/2a
ECUACIÓN RADICAL
Es aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
Ejemplo:
∛(2x+1) = 3
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Para cada número real x, se define su valor absoluto y se denota |x|, de la siguiente manera:
a. |x|=x si x ≥0
b. |x|= -x si x <0
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo _Valencia
Extensión_Isabelica
Solórzano Jonathan 20.243.062
Seccion i 006
Ing petroquimica
Termino de una raíz
De latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo de derechas).
Según el contexto radical puede significar:
• En política:
o Radical, alguna posición que busca ir al fondo o raíz de las cosas, como por ejemplo los ácratas,
o un miembro de alguno de los partidos llamados Radicales o de la Unión Cívica Radical;
• En química, un radical libre es una molécula (orgánica o inorgánica), en general extremadamente inestable y, por tanto, con gran poder reactivo.
• En matemáticas:
o el n-ésimo radical o raíz de un número a, escrito como , que es el número cuya n-ésima potencia es a (ver también raíz cuadrada);
o en teoría de anillos, el radical de un ideal es una forma de completar el ideal del anillo;
o en teoría de números, el radical de un entero es el mayor entero libre de cuadrados que divide a ese número.
• En la caligrafía china, un radical es cada uno de los trazos básicos que componen un carácter chino
• En Mercadotecnia, un Marketing Radical es el cambio total de mercadeo tradicional. Teoría de SAM Hill y Glenn Rifkin.
• Es una discoteca famosa de Toledo, que anteriormente estuvo situada en Alcalá de Henares
Índice de un radical
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.
propiedades de los radicales
simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:
o bien
o bien
Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son números naturales ³2, x y y son números reales positivos.
1.-
3.-
2.-
4.-
Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:
1.-
3.-
2.-
4.-
El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan números reales positivos.
Propiedad 1:
Propiedad 2:
Propiedad 3: o bien:
Propiedad 4:
Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con radicales por una variedad de formas equivalentes.
OPERACIONES CON RADICALES
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
Ecuaciones:
Una ecuación es una expresión matemática relacionada con el signo = en la cual hay letras que se llaman incógnitas y el objetivo es hallar un valor para esa incógnita que haga que se cumpla la condición de igualdad.
POR EJEMPLO:
X + 5 = 0
Hay que buscar un valor para la incógnita. Las incógnitas se pueden expresar mediante cualquier letra, generalmente se usa la X, Y, ó Z.
Dicho valor es:
x = -5
porque si reemplazo a la x por -5 quedaría :
-5 + 5 = 0
Cuando x = -5 se cumple la igualdad si, por ejemplo, hubiese puesto x = -4 no se cumpliría:
-4 + 5 = 0
1 = 0 no se cumple la igualdad
Se dice entonces que la solución para la ecuación x + 5 = 0 es: x = -5
En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas), que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637.
En la ecuación: ax + b = c
a, b y c son coeficientes, x es la incógnita
En la ecuación 5z – 4 = 16
Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la incógnita es z.
Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.
Ejemplos:
Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: $150) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste tiene que cumplir:
500 = 3 x 150 + v
En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.
Un norteamericano llega a Chile y manifiesta que la temperatura ambiental es de 85 ° Fahrenheit ¿cuál es la temperatura ambiental en grados Celsius? Si C representa la temperatura en grados Celsius se cumple la relación:
85 = 9/5 C + 32, C es la incógnita y el valor C=265/9 es la solución.
En: a x + 8 = 3, el valor x=-5/a es la solución.
En 4x2–3x+2=2 los valores x= 0 y x=3/4 son soluciones.
Igualdad matemática
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En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si x e y son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.
Axioma: Sean dos entidades matemáticas x e y:
x = y si y sólo si x es igual a y.
Consideremos un conjunto A, la igualdad es una relación que es reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Es la única relación sobre A que posee todas estas propiedades. Eliminando el requerimiento de antisimetría conduce a la noción de relación de equivalencia. Conversamente, dada una relación de equivalencia R, podemos formar el conjunto cociente A/R, y la relación de equivalencia 'descenderá' a igualdad en A/R.
Una igualdad matemática es la expresión de que dos cantidades son equivalentes.
Reglas:
1) Reflexiva: x = x 2) Simétrica: Si x = y entonces y = x. 3) Transitiva: Si x = y , y = z entonces x = z.
Las igualdades pueden ser:
1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si 3x = 6, solo se cumple la igualdad si x=2.
2) Identidades: se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo:
(x - 4)² = x²-8x+16 es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de x.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b
-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.
c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnita
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.
Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)
El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.
El método es el siguiente:
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citáis el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnita
El método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.
A veces nos ponen una ecuación de segundo grado ‘disfrazada’. Lo verason un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio de variable, resolverla ecuación de segundo grado y después despejas la x (calculando las rías cuadradas del valor que hemos obtenido para t).
Si ninguno de los métodos anteriores nos da el resultado, sorprenderás a tu profesor haciendo ecuación poreste método
Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an = 0
Si x1, x2,..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:
X1 + x2 +... + xn = -a1
X1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2
X1x2x3 + x1x2x4 +...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn +...+ xn-2xn-1xn = -a3
..................................
X1x2...Xn = (-1)n an
Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Qué es una ecuación cuadrática
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones
Radical
Se llama ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante.
Ejemplo
Son ecuaciones radicales:
a.
b.
c.
d.
e.
Algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre
Que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna
De dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando El valor absoluto
Además s importante tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando
La de¯nicion.
Ecuaciones con Valor Absoluto
El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un
Número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto
Debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión x = k utilizando la
Siguiente información: x = k es equivalente a: x = k ó x = −k
petroquímica
alula I007
sección 11
TERMINO DE UN RADICAL
El término radical viene del latín radia ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
No confundir con otras palabras similares, como fanático (extremismo
irracional), ortodoxo (extremismo religioso) o reaccionario (extremismo
de derechas).
INDICE DE UN RADICAL
indica la operación de extraer raices
Propiedades de los radicales:
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3. Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
RACIONALIZACIÓN BINOMICA
Es una racionalización de tipo , donde se puede observar que el denominador es un binomio, en pocas palabras cuando se habla de racionalización binómica estamos hablando de la “presencia de un binomio”. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, el cual es igual al binomio con el signo central cambiado.
DEFINICAION DE ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. A las letras les llamamos incógnitas.
Si sólo hay una letra la ecuación se dice con una incógnita.
DEFINICAON DE IGUALDAD
La igualdad es una situación social según el cual las personas tienen las mismas oportunidades o derechos en algún aspecto.
Existen diferentes formas de igualdad, dependiendo de las personas y de la situación social particular. Por ejemplo: Igualdad entre personas de diferente sexo; Igualdad entre personas de distintas razas; Igualdad entre los individuos de otras especies; Igualdad entre personas discriminadas o de distintos países con respecto a las oportunidades de empleo; Igualdad de diferentes razas respecto a derechos de tránsito, de uso de transportes públicos o de acceso a la educación.
ECUACIÓN LINIAL
es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
ECUACIÓN SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica.
ECUACIÓN CUADRATICA
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza ArmadaS
Extensión_Isabelica.
Radicación y Ecuaciones
Profesor:
Luis Marcano
Ingeniería Petroquímica Sección I_006
Aula Nº07
Valencia, diciembre del 2008
El término radical viene del latín radix ("raíz"), significa así de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
• Índice de un radical: es el exponente de la potencia.
• Parte sub. Radical: este también conocido como la base, es el número que está contenido dentro de la raíz
Propiedades de los radicales
Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
Simplificación:
Por ejemplo,
Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
Suma de radicales:
Por ejemplo,
Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de
Que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados.
Lo mismo sucede con la expresión
Sin embargo, la expresión
Sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:
Por tanto,
Multiplicación de radicales
Multiplicación de radicales con el mismo índice
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades sub. Radicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
• =
Otro ejemplo:
• =
Multiplicación de radicales con diferente índice
Ejemplo:
•
Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 • 5 = 20.
Después se divide el mínimo común múltiplo entre el índice de cada radical.
• = •
El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, será la cantidad que eleve a las cantidades sub. Radicales de esa raíz.
• = •
Ahora, se hace una multiplicación de radicales de las de igual índice ya que ambas raíces poseen índice 20:
• =
Si es posible, se realiza una extracción de factores, como en este caso:
=
Racionalización de binomio de índice 2
Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Ejemplo:
En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
• =
Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:
= = =
Racionalización de binomios con índices mayores que 2
Cuando se tienen binomios con radical de índice 3, es preciso utilizar productos notables, en este caso la adición y sustracción de cubos, según sea el caso.
Adición de cubos:
Sustracción de cubos:
Ejemplo:
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el resultado que dé el producto notable del denominador.
=
Este es el resultado del producto notable, que irá en el denominador, que multiplicará tanto al numerador como al denominador:
• =
Ahora, se resuelven las potencias que están fuera del paréntesis:
Ahora, el denominador se transforma el resultado a producto notable:
=
Ya que los exponentes de las cantidades sub. Radicales del denominador son iguales o múltiplos de 3, puede procederse al despeje del radical del denominador, que es el último paso de la racionalización:
=
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
• El grado: El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio.
• Igualdad: Es aquella expresión que se obtiene de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor. La condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad.
Ecuación lineal
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaría
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
Ecuaciones de segundo grado
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
Pasamos -16 al segundo miembro
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
Tengamos:
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0
Si tenemos la ecuación cuadrática:
Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.
Método II
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:
Es equivalente a:
Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.
Luego, la igualdad:
Es equivalente a:
Demostración
Partiendo de la igualdad:
Operando, obtenemos:
Luego, para a = 1, resulta:
M y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
¿Qué es una ecuación de valor absoluto?
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto. El valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+3| = | -3 | = 3
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
´´UNEFA´´
NUCLEO-ISABELICA
Ing. Petroquímica
Sección I006
Aula 07
Maryelys M. Guevara V.
CI 20382135
RADICAL
En lo general, es toda raíz indicada de una cantidad.
El término radical viene del latín radix ("raíz"), obteniendo como significado de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
La Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reduce la expresión dada (2a es la raíz cuadrada de 4a2 porque (2a)2= 4a2.
Estan pueden ser indicadas que son las exactas la exprecion es radical; tambien pueden ser inexactas que estas son irradicales.
El índice de un radical es el exponente de la potencia, convencionalmente el índice en 2.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).
Segunda:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;
de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
Tercera:
Ejemplos:
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.
Cuarta:
Ejemplos:
Quinta:
Ejemplos:
RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.
Los radicales
y
son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.
y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
Más ejemplos de radicales semejantes:
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador por
Otro ejemplo. Racionalizar
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por para eliminar la raíz del denominador:
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
, como vemos da el mismo resultado.
ECUECIONES
Una ecuación es una igualdad entre 2 expresiones que se denominan miembros de la misma; sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.
Una ecuación que sola se verifique para ciertos valores o incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional.
Una ecuación que se verifique para todos los valores permitidos recibe el nombre de identidad (valores permitidos son aquellos para los que están definidos los miembros de la ecuación.
SE LO ENVIE TAMBIEN A SU CORREO PORQUE NO SE VEN LOS EJEMPLOS
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz.
En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raíz seria 2358
15- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
Raíz cúbica
1- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 23 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 - 8 = 8
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.
En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
5- después tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:
3 * (raíz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3
se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.
El número a, es el siguiente dígito de la raíz.
En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625
6- A continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.
En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.
7- Repetimos el paso 4
En nuestro ejemplo: 762064
8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raíz.
En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 * 10 + 43 = 762064
9 Repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0
Radicación de números complejos
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.
Propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
Ejemplo:
• = .
Raíz de un producto [editar]
La raíz enésima de un producto a • b es igual al producto de la raíz enésima de "a" por la raíz enésima de "b"
=
Pero si multiplicamos a • b dentro del radical, el resultado será el mismo:
Raíz de un cociente [editar]
El cociente de la raíz de una fracción, es igual al cociente de la raíz del nominador entre la raíz del denominador, así:
• =
Ejemplo:
• =
Cuando esta propiedad se realiza con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
• =
Potencia de una raíz [editar]
Para elevar una raíz a una potencia, se conserva el índice y es elevado sólo la cantidad subradical.
• = .
Ejemplo:
• =
Raíz de una raíz [editar]
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical.
=
Ejemplo:
=
OPERACIONES CON RADICALES
1. Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
se suman los que son semejantes
y ya no podemos hacer nada más
2. Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
ahora si se pueden multiplicar
g)
4.-Racionalizacion binomicas y de un ejemplo:
Las expresiones: Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
Ecuación polinómica
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero.
Ejemplo
sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:
Ecuación de primer grado
Se dicen que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente sería 1.
Resolución de ecuaciones de primer grado [editar]
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x
Y simplificamos el segundo miembro: 28+396+9+92 = 525
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: •2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).
Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (•5) (el número pasará sin cambiar el signo).
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
por tanto, simplificando, la solución es:
Resolución de ecuaciones de primer grado: problema [editar]
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
Se prodria leer así: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
Ecuaciones de segundo grado
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
Pasamos -16 al segundo miembro
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
Tengamos:
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0
Si tenemos la ecuación cuadratica:
Para resolver ecuaciones cuadraticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
Si el resultado obtenido dentro de la raiz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.
Método II
También podemos resolver ecuaciones cuadraticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:
es equivalente a:
siendo m y n los dos valores (o raices) de la expresión.
En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.
luego, la iguldad:
es equivalente a:
Demostración
Partiendo de la iguldad:
operando, obtenemos:
Luego, para a = 1, resulta:
m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.
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ministerio del poder pupular para la defenza
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ingenieria petroquimica
seccion:I007
RADICAL
En lo general, es toda raíz indicada de una cantidad.
El término radical viene del latín radix ("raíz"), obteniendo como significado de raíz o de base, refiriéndose sobre todo a un punto de vista profundo, sustancial, más aún si es aplicado a alguna convicción, práctica, análisis o propuesta.
La Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reduce la expresión dada (2a es la raíz cuadrada de 4a2 porque (2a)2= 4a2.
Estan pueden ser indicadas que son las exactas la exprecion es radical; tambien pueden ser inexactas que estas son irradicales.
El índice de un radical es el exponente de la potencia, convencionalmente el índice en 2.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Los radicales tienen una serie de propiedades, que debemos conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de las potencias. Veámoslas una a una, estudiando su significado en algunos ejemplos, y viendo sus aplicaciones.
Primera:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos importantes aplicaciones:
simplificar radicales tal y como se ha visto en los ejemplos anteriores;
conseguir que dos o más radicales tengan el mismo índice (reducir a índice
común).
Segunda:
Ejemplos:
Esta propiedad tiene dos aplicaciones importantes:
sacar un factor fuera de la raíz;
de modo contrario, juntar varios radicales en uno solo.
Tercera:
Ejemplos:
Esta propiedad, junto con la primera y segunda, sirve para poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz.
Cuarta:
Ejemplos:
Quinta:
Ejemplos:
RADICALES SEMEJANTES
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y radicando.
Los radicales
y
son semejantes. Tienen el mismo índice, 2, y el mismo radicando, 3.
y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
y
son semejantes. Esto se comprueba sacando factores del radical.
Más ejemplos de radicales semejantes:
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador por
Otro ejemplo. Racionalizar
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por para eliminar la raíz del denominador:
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
, como vemos da el mismo resultado.
ECUECIONES
Una ecuación es una igualdad entre 2 expresiones que se denominan miembros de la misma; sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x.
Una ecuación que sola se verifique para ciertos valores o incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional.
Una ecuación que se verifique para todos los valores permitidos recibe el nombre de identidad (valores permitidos son aquellos para los que están definidos los miembros de la ecuación.
Ecuación Lineal
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia
• ¿Qué es una ecuación de valor absoluto?
Son ecuaciones que involucran el valor absoluto ya que el absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras, como por ejemplo: |+8| = | -8| = 8
¿Qué es una ecuación radical?
Llamamos ecuación radical aquella ecuación que involucra al menos un radical donde subradical es una expresión algebraica no constante. Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas se representa con una raíz
Operaciones con radicales:
Suma y resta
Simplifíquense los radicales dados si es posible y efectúense las operaciones indicadas y es necesario que sean semejantes, primero descomponemos en factores primos las cantidades subradicales para simplificar .Multiplicación de radicales
Multiplicación de radicales
Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, dando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo:
• • =
PARTE SUB RADICAL
El grado de un radical es el índice de la raíz y se llaman radicales semejantes ya tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Índice de un radical: es el exponente de la potencia.
Igualdad: Es aquella que resulta de igualar dos cantidades que tienen el mismo valor y la condición de ser igual. Tener el mismo valor o cantidad
Grado
El grado de una ecuación es el mayor de los exponentes a los que está elevada una incógnita. Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes debemos calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación y este se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de Las Fuerzas Armadas
Núcleo La Isabelica
Génesis Medina
C.I 20.729.904
Sección I007 Ing. Petroquímica
Lic. Luís Marcano
RADICACIÓN
Es encontrar la raíz de un número, la cual elevada a la correspondiente potencia, de como resultado el número inicial.
Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 x 2 y obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2 una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado (²).
Así mismo la multiplicación 2 x 2 x 2 donde el resultado es 8, se puede decir también que 2 es la raíz de 8, con la diferencia que en esta ocación el número 2 se ha elevado al cubo (³) y por lo tanto se puede deducir que las radicación y la potenciación están muy relacionadas.
El principio en que se basa la extracción de la raíz cuadrada de cantidades de varias cifras, consiste en descomponer el número dado en grupos de 2 cifras, comenzando por la derecha.
TERMINOLOGÍA DE UN RADICAL
• Signo ( )
• Coeficiente (a)
• Símbolo Radical ( )
• Índice del Radical (n)
• Parte sub-radical ( y)
• Exponente del sub-radical (m)
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Potencia de una raíz
El denominador en un exponente racional es la raíz y el numerador es el exponente de la base. Da lo mismo hallar la potencia y luego la raíz que hallar la raíz y luego la potencia.
Raíz de un producto
La raíz de un producto es el producto de las raíces.
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad sub-radical.
OPERACIONES CON RADICALES
Suma y resta de radicales
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Multiplicación de radicales del mismo índice
Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades sub radicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
. =
Multiplicación de radicales de diferentes índice
Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
• = •
• = =
RACIONALIZACIÓN BINÓMICA
Para racionalizar un binomio de índice 2, se multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma. Este resultado va quedar de la forma de producto notable de los binomios. Luego se despejan las raíces del denominador
(a+b); es un binomio
La conjugada (a – b)
Ejemplo:
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable (valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
- no es igual
- mayor que
- menor o igual que
- mayor o igual que
El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.
ECUACIÓN LINEAL
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso más común, en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica:
Solución general de la ecuación de segundo grado [editar]
La ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula:
,
donde el símbolo "±" indica que ambas
y
son soluciones.
A la expresión dentro de la raíz cuadrada se le conoce como discriminante y en función del mismo la ecuación admite tres tipos de soluciones:
1. Dos soluciones reales diferentes si el discriminante es positivo;
2. Una solución real doble, si el discriminante vale cero;
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo.
Obtención de la fórmula [editar]
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática) podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula resolvente de dicha ecuación. Considerando,
Donde para forzar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.
Dividimos todo por a:
Pasamos restando el término independiente del otro lado de la igualdad:
Completamos cuadrados para llegar a un binomio cuadrado perfecto y sumamos a ambos lados de la igualdad para mantener la misma:
Despejamos x:
ECUACIONES CON RADICALES
Son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Resolución de ecuaciones con radicales
El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión x = k utilizando la siguiente información: x = k es equivalente a: x = k ó x = −k
1) Termino radical.
Un radical es una expresión de la forma, en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1) Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2) Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice correspondiente del radical.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
2) Propiedades de los radicales.
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
3) Operaciones con radicales.
Sumas y restas
Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
a) O sea que se suman o restan los números que están fuera y la raíz queda igual.
b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:
Ahora si son semejantes y podemos sumarlos
c) No son semejantes
Se suman los que son semejantes
Y ya no podemos hacer nada más
Multiplicaciones y divisiones
Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo índice.
Ejemplos:
d)
e)
f) no tienen el índice común. Para reducir a índice común se hace igual que para reducir a denominador común.
Ahora si se pueden multiplicar
g)
5) Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Una ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.
Ecuación polinómica
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero.
Ejemplo
Sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:
Grado de una ecuación
Ecuación de primer grado
Se dicen que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente sería 1.
Resolución de ecuaciones de primer grado
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.
Realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x
Y simplificamos el segundo miembro: 28+396+9+92 = 525
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: •2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).
Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (•5) (el número pasará sin cambiar el signo).
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
Resolución de ecuaciones de primer grado: problema [editar]
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
Se podría leer así: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
Ecuaciones de segundo grado
Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:
Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
Pasamos -16 al segundo miembro
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada
La ecuación ya está resuelta
Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 [editar]
Tengamos:
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.
Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 [editar]
Si tenemos la ecuación cuadrática:
Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:
Si sustituimos las letras por los números, siendo:
a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado.
b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.
c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).
A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3
Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.
Método II
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:
Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:
Es equivalente a:
Siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.
En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.
Luego, la igualdad:
Es equivalente a:
Demostración
Partiendo de la igualdad:
Operando, obtenemos:
Luego, para a = 1, resulta:
M y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.
6) Ecuación lineal
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales.
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
• Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
• Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
• Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Ecuación cuadrática
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada formula resolvente:
Ecuación radical.
Ecuaciones con radicales, son igualdades en las que al menos una de las incógnitas aparece con una raíz.
Resolución de ecuaciones con radicales
El método que se usa para hallar la solución de una ecuación con radicales consiste en elevar a un exponente para deshacer el signo de raíz y así operar de forma sencilla, convirtiendo la ecuación radical en una ecuación ordinaria de cualquiera de los grados. Una curiosidad de este tipo de ecuaciones es que hay que verificar si las soluciones obtenidas son reales o no, pues al elevar a exponente pueden aparecer soluciones falsas.
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LAS FUERZAS ARMADAS
UNEFA
TRABAJO DE RADICALES
INTEGRANTE: ARTURO DIAZ
AULA: I 007 DE PETROQUIMICA
CI: 20514437
RADICAL
Es toda raíz indicada inexacta o cantidad irracional. También se llama radical a la expresión en la que participa dicho signo.
Por ejemplo, son radicales:
y
es una expresión algebraica con radical.
El grado de un radical es el índice de la raíz.
Dos radicales del tipo y se llaman radicales semejantes pues tienen el mismo grado y la misma cantidad subradical "a". Para reducir radicales semejantes se halla la suma algebraica de los coeficientes de las raíces y se coloca este resultado como coeficiente de la parte radical común.
Ejemplo:
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.
1. Raíz de una raíz:
Por ejemplo,
2. Raíz de una potencia:
Por ejemplo,
3 . Simplificación:
Por ejemplo,
4. Raíz de un producto:
Por ejemplo,
Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:
5. Raíz de un cociente:
Por ejemplo,
6. Si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de la parte subradical de una raíz por el mismo numero el valor de la raíz no cambia.
ó
7. Una raíz elevada a una potencia igual a su grado, es igual a la cantidad subradical.
,
8. Las raíces pares de una cantidad positiva tiene doble signo: positivo y negativo.
9. Las raíces impares de una cantidad, tienen el mismo signo de la cantidad subradical.
10. Las raíces pares de una cantidad negativa no existe en los números reales.
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
CASO I - La cantidad subradical contiene factores cuyos exponentes son divisibles entre el índice: Se escribe la cantidad subradical en forma de potencias y se arreglan de forma que queden exponentes mayores o iguales divisibles entre el índice de la raíz. El cociente de esta división será el exponente de la cantidad fuera de la raíz y el residuo es el exponente que queda como parte subradical. Cuando la división es exacta, el factor correspondiente sale totalmente de la raíz.
Ejemplo: Simplificar
SUMA Y RESTA DE RADICALES
Para poder sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes para ello deben simplificarse.
Ejemplo: Sumar y restar
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CASO I - Multiplicación de radicales del mismo índice: Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre si, colocando este ultimo producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.
Ejemplo: Multiplicar
CASO II - Multiplicación de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Multiplicar
m.c.m (2,3 ) = 6 ,
DIVISIÓN DE RADICALES
CASO I - División de radicales del mismo índice: El cociente de radicales del mismo índice es otro radical con este mismo índice que tiene como coeficiente el cociente de los coeficientes y como parte subradical el cociente de los subradicales.
Ejemplo: Dividir
CASO II - División de radicales de diferentes índice: Se transforman los radicales a un mismo índice y se procede como el caso anterior.
Ejemplo: Dividir
m.c.m (3,2,4)=12,
, ,
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Las expresiones
Tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias según sea el caso:
CASO I - Denominador es la raíz de un monomio: Se multiplican numerador y denominador por una cantidad irracional del mismo índice del denominador que al multiplicarse el resultado sea un denominador racional. Para ello debe multiplicarse el denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases a contenido.htm por a p , sea una potencia de a n .
Ejemplos:
Racionalizar:
CASO II - Denominador es un binomio con radicales de segundo grado: Se multiplican numerador y denominador por la conjugada del denominador, es como aplicar la identidad ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador
Nota: Las expresiones conjugadas son dos expresiones que contienen radicales de segundo grado como
y
y que difieren solamente en el signo que une sus términos. Permiten eliminar raíces.
Por ejemplo:
Ejemplos:
Racionalizar
Racionalizar, factorizar y simplificar:
Ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
En muchos problemas matemáticos, las condiciones del mismo se expresan en forma de una o más ecuaciones. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación (hacer válida la identidad).
Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.
Ecuación lineal
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho,es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Tipos de ecuaciones lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria
Aquí E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
1.
2.
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.
Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: 3x + 2 = 3x − 5.
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas.
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De las Fuerzas Armadas
U.N.E.F.A
Alumna:
Rodríguez Angélica
C.I: 20.496.994
Carrera: ING. Petroquímica.
C.I.U
Aula: 07 Sección: I-0006
Trigonometría
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida".1
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Razones trigonométricas [editar]
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Razones trigonométricas recíprocas [editar]
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas [editar]
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas [editar]
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en Grado sexagesimal.
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Rad
Gr
sen cos tan csc sec ctg
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
Tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
Incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π radianes.
Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen cinco identidades fundamentales:
Recíprocas [editar]
De división
Por el teorema de Pitágoras [editar]
Como en el triángulo rectángulo se cumple que:
De la figura anterior se tiene que:
Entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica:
Que también puede expresarse:
Suma y diferencia de dos ángulos
Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos
Producto del seno y coseno de dos ángulos
Ángulo doble
Ángulo mitad
Otras identidades trigonométricas
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan (60°)=
tan (π/6) = tan (30°) =
Una identidad de importancia con la tangente es:
Seno y coseno, funciones complejas
El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:
Por lo tanto, la tangente quedará definida como:
Siendo (también puede representarse como j).
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Valencia
Extensión Isabelica
Trigonometría
Profesora: Bachiller:
Luís Marcano Pamela Carrasquel C.I. 20.233.872
Ingeniería Petroquímica
CIU
Sección I_006
Aula Nº 07
Valencia, enero de 2009
• Trigonometría
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélite.
• Identidades trigonométricas
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unidad centrado en O.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².
• Solución de triángulos
Proceso de calcular los lados y ángulos desconocidos de un triángulo con base en el conocimiento de la trigonometría acerca de las relaciones entre los tres ángulos y los tres lados.
Ya que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°, el tercer ángulo se puede calcular si se conocen dos ángulos. Se puede utilizar la ley de los senos y la ley de los cósenos para calcular los ángulos o los lados si se da suficiente información.
• Ley de los senos
La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
• Ley de los cósenos
La ley de los cósenos establece que c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.
Igualmente, a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
y
b2 = c2 + a2 - 2ca cos B
• Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
• Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
• Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco.
• Valor de las funciones trigonométricas
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
• Teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es.
• Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa encontrar el valor numérico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo.
• Plano cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).
• Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).
Existen dos casos:
Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.
Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.
Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el ejex.
Gráficas de las funciones trigonométricas
Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U.
El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio del seno y el coseno es [-1, 1].
Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales x = 0.
Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales y = 0.
El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales.
• Funciones Trigonométricas
1. Función Seno: La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa.
2. Función Cosecante: La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés.
3. Función Coseno: La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa.
4. Función Secante: La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés.
5. Función Tangente: La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente el cateto adyacente.
6. Función Cotangente: La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés.
República Bolívariana de Venezuela
Universidad nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas UNEFA
Valencia- Extensión la Isabelica
TRIGONOMETRIA
Profesor
Luís Eduardo
Alumna:
Arvelo Francys
CI 20.362.010
Carrera: Ingeniería Petroquímica
Aula: 07
Seccion: I 006
VALENCIA,22 DE ENERO DEL 2009
Trigonometría
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego.La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en Grado sexagesimal.
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Rad
Gr
sen cos tan csc sec ctg
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica
Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π radianes.
Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen cinco identidades fundamentales:
Recíprocas
De división
Por el teorema de Pitágoras
Como en el triángulo rectángulo se cumple que:
de la figura anterior se tiene que:
entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :
que también puede expresarse:
Suma y diferencia de dos ángulos
Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos
Producto del seno y coseno de dos ángulos
Ángulo doble
] Ángulo mitad
Otras identidades trigonométricas
Véase también: Sinusoide
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan (60°)=
tan (π/6) = tan (30°) =
Una identidad de importancia con la tangente es:
Seno y coseno, funciones complejas
El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:
Por lo tanto, la tangente quedará definida como:
Siendo (también puede representarse como j).
Identidades trigonométricas
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unidad centrado en O.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².
• Solución de triángulos
Proceso de calcular los lados y ángulos desconocidos de un triángulo con base en el conocimiento de la trigonometría acerca de las relaciones entre los tres ángulos y los tres lados.
Ya que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°, el tercer ángulo se puede calcular si se conocen dos ángulos. Se puede utilizar la ley de los senos y la ley de los cósenos para calcular los ángulos o los lados si se da suficiente información.
• Ley de los senos
La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.
Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:
a / sen A = b / sen B = c / sen C
• Ley de los cósenos
La ley de los cósenos establece que c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.
Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.
Igualmente, a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
y
b2 = c2 + a2 - 2ca cos B
• Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
• Razones trigonométricas recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
• Funciones trigonométricas inversas
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco.
• Valor de las funciones trigonométricas
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto.
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
• Teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es.
• Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa encontrar el valor numérico de cada uno de sus tres lados y sus tres ángulos. En esta clase de problemas siempre se nos dan los valores de tres elementos, uno de los cuales es uno de los lados, y se nos pide hallar los otros tres. De la geometría plana elemental sabemos que "la suma de las medidas de los tres ángulos interiores en cualquier triángulo es igual a 180 grados". Así, para encontrar el valor del tercer ángulo.
• Plano cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).
• Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).
Existen dos casos:
Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.
Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.
Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el ejex.
Gráficas de las funciones trigonométricas
Vamos a observar, mediante las gráficas de las funciones trigonométricas, lo que sucede con las coordenadas de P(x, y) cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria U.
El dominio de las funciones seno y coseno es el conjunto de los números reales. El codominio del seno y el coseno es [-1, 1].
Las funciones tangente y secante tienen denominador x, por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales x = 0.
Las funciones cotangente y cosecante tienen denominador y; por tanto, se deben excluir de su dominio los valores de t para los cuales y = 0.
El codominio de las funciones tangente y cotangente consta de todos los números reales.
• Funciones Trigonométricas
1. Función Seno: La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa.
2. Función Cosecante: La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés.
3. Función Coseno: La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa.
4. Función Secante: La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés.
5. Función Tangente: La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente el cateto adyacente.
6. Función Cotangente: La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politecnica de la Fuerza Armada
Extensión isabelica
YEXIMAR CHINEA
SECCIÓN:I006
AULA:07
CIU:ING.PETROQUIMICA
TRIGONOMETRÍA
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa `medida de triángulos'.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
SOLUCIÓN DE TRIANGULOS
Proceso de calcular los lados y ángulos desconocidos de un triángulo con base en el conocimiento de la trigonometría acerca de las relaciones entre los tres ángulos y los tres lados.
Ya que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°, el tercer ángulo se puede calcular si se conocen dos ángulos. Se puede utilizar la ley de los senos y la ley de los cosenos para calcular los ángulos o los lados si se da suficiente información.
UNIDADES ANGULARES
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
PRIMER CUADRANTE
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
SEGUNDO CUADRANTE
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
TERCER CUADRANTE
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
CUARTO CUADRANTE
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.